协作臂的设计出发点是模拟人的手臂 ，在某些特定场景下（人们越来越懒，越来越娇贵，苦活脏活累活都不想自己干），代替手臂进行抓取、码垛、喷漆、打磨等操作。新手小白要学习协作臂，理解各种基本概念，理所当然应该从重新认识我们的手臂开始。
想一想，手臂有几个关节？
从躯干往手掌方向，依次是肩、肘、腕关节。
• 肩关节运动范围大，大臂绕肩关节，可以进行上下、前后和扭转运动；
• 肘关节可以让大、小臂张合，大力水手秀肌肉的时候，一般都会弯曲肘关节；
• 腕关节灵活，可以拧螺丝、挪动鼠标（打CS）、拍手；
手臂灵活吧，这里其实已经涉及到自由度（DoF, Degree of Freedom）的概念。
机器人的自由度（DoF, Degree of Freedom），表示机器人位形所需的最小实值坐标数。——《现代机器人学-机构、规划和控制》
操作臂的自由度，是操作臂中具有独立位置变量的数目，这些位置变量确定了机构中所有部件的位置。——《机器人学导论》
概念不太好理解？举个两粟子：
• 家里卧室的门，自由度是1，因为只需要门与门框的夹角这一个变量就可以确定门的位置；
• 办公桌面上平放的一张A4纸，自由度是3，首先平面内用x,y确定A4纸中心的相对桌面的位置，再用一个转角确定A4纸长的边相对于桌面的角度。
机器人结构各异，这样算自由度好麻烦，没关系已经有大神推出了公式：
Kutzbach - Grubler公式
DoF = m(N-1-J) + sum_{i=1}^{J}{f_{i}}
对于一个具有N个构件（含基座）的机构，令J为关节数，m为刚体的自由度数（对于平面机构，m=3；对于空间机构，m=6），fi为关节i对应的自由度数。注意：此公式只有在所有关节约束都独立的情况下才成立，否则，只能用于判断自由度的下限值。
这下可以开算了，这回是书上的粟子，都是平面机构：
图a)机构的自由度，N=5，J=4，每个关节的自由度为1，dof = 3(5-1-4)+4 = 4
图b)机构的自由度，N=5，J=5，每个关节的自由度为1，dof = 3(5-1-5)+5 = 2
图c)机构的自由度，N=6，J=7，每个关节的自由度为1，dof = 3(6-1-7) + 7 = 1
图d)机构的自由度，N=6，J=7，每个关节的自由度为1，dof = 3(6-1-7) + 7 = 1
现在，再回看看手臂的自由度是多少，能不能套用这个公式。首先N = 4（躯干（基座）、大臂、小臂、手），J = 3（肩、肘、腕）。
再来确定一下，手臂各个关节的自由度，上图来照着说。
图中每个箭头代表一个自由度，解释一下：
• 肩关节，固定在躯干上，不能移动，但能转动。3个自由度：
• 1轴，肩关节前后运动；
• 2轴，肩关节左右运动；
• 3轴，肩关节带动大臂转动；
• 肘关节，连接大臂和小臂，只能弯曲，1个自由度；
• 肘、腕关节配合，由尺骨和桡骨转动，使腕关节可以转动，1个自由度（拧钥匙）；
• 腕关节，本身可以本左右摆动（玩鼠标），可以上下摆动（招手），2个自由度；
套用前面的公式，手臂自由度 dof = (4 - 1 - 3) + 3(肩)+1(肘)+3(腕) = 7；
接下来看看这个图，反手摸肚脐。大部分人的手臂都做不到，这又引入了一个概念，那就是工作空间。
机械臂的工作空间，简单的说就是机械臂可以到达的所有位置的。
机械臂由于本身设计的原因，有些位置是不能到达的，用数学来解释，就是逆运动学方程无解。下图为某协作臂的工作空间，中间的圆柱形区域是不能到达的。
